Геометрическая прогрессия — опасная вещь. Стоит выпустить экспоненциальный рост из-под контроля, и случится непоправимое: Землю заполонят мириады бактерий и крыс, размножающихся чудовищными темпами, все компьютеры станут бесполезны, так как время обработки данных будет уходить в плюс-бесконечность… В экспоненциальном спаде тоже нет ничего приятного: вспомним хотя бы ядерные катастрофы. Тем не менее, экспоненциалы постоянно присутствуют в нашей жизни, и благодаря их использованию перед человечеством открываются интереснейшие возможности.

В науке словосочетание «экспоненциальный рост» — словно упоминание дьявола. Оно может означать лишь одно — неконтролируемое возрастание величины в геометрической прогрессии.

Экспоненциальный рост приводит к катастрофам — что в биологии, что в информатике.

Экспоненциалы. Алгебра роста

На фото мы видим бесконечность в отражениях зеркал. Данный пример наглядно иллюстрирует принцип экспоненциальной алгебры. Отражения становятся все меньше и образуют убывающую последовательность. Это и называется геометрической прогрессией.

Давайте представим, что у нас есть бактерия, растущая в чашке Петри. Она помещена н благоприятную среду, где может питаться и воспроизводиться. Через 20 минут от нее отделяется вторая бактерия. И через каждые 10 минут — следующая. То есть через 40 минут вместо одной первой бактерии у нас будут уже четыре микроорганизма, а через час — восемь. Каждый из них весит очень мало — около одной биллионной грамма (0,000000000001 г), то есть для того, чтобы общий вес бактерий достиг одного грамма, их нужен один биллион. Итак, вопрос следующий: каков будет вес посева через 48 часов? Мы помним. что данный вид бактерии воспроизводится каждые 20 минут. Смело заключайте пари — вы выиграете. Даже хорошо умеющие считать люди здесь, скорее всего, допустят ошибку. Итоговый вес бактерий будет в четыре тысячи раз превышать вес Земли. Конечно, в маленькой чашке Петри этого не получится, потому что в определенный момент бактерии из-за количества выделяемых ими отходов жизнедеятельности просто перестают размножаться. Но если представить себе, что этого не происходит, то станет понятно, насколько быстро «плохие» бактерии смогут решить вопрос с перенаселенностью планеты.

Бактерии, растущие в чашке Петри. Деление через равные промежутки времени является экспоненциальным ростом, и останавливают его лишь ограниченные стенками чашки пищевые ресурсы; в природе воспроизводство этих бактерий может быть разрушительным.

Результаты подобных вычислений, всегда поражающие своими немыслимыми пропорциями. в математике называются экспоненциальным ростом. Расчеты прироста популяции относятся именно к этой части математики, и числа, которыми они оперируют, не перестают удивлять. Например, если одна пара крыс четыре раза в год будет производить по четыре крысенка, то всего лишь через 60 поколений крысы полностью покроют поверхность Земли.

Пара определений

Операция, где число x складывается само с собой столько раз, сколько требует число n, называется умножением.

В свою очередь умножение числа х на само себя n-ное количество раз называется возведением в степень.

Число x — это основа, а число n — показатель степени (экспонент).

Считается, что последовательность чисел растет линейно с увеличением константы скорости, то есть каждое следующее значение может быть получено путем добавления определенного числа к предыдущему. Например:

4, 7, 10, 13, 16…

где таким числом является три. Это фиксированное значение, которое прибавляется к каждому числу для получения следующего. Если n — позиция, занимаемая предыдущим числом, то се значение можно изобразить так: ƒ(n), где ƒ(n)=n+3.

Если же значение величины возрастает не в результате сложения, а благодаря умножению каждого числа на определенный множитель, то здесь мы имеем дело с экспоненциальном ростом (возрастанием в геометрической прогрессии), как в следующем случае:

2, 4, 8, 16, 32…

Каждый член прогрессии, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения его на определенное число. В данном случае, на два. Представим это в виде формулы: ƒ(n)=2ⁿ. Приведенные числовые последовательности также получили названия арифметическая и геометрическая прогрессии соответственно.

Правила возведения в степень

Масштаб

Масштаб выражается на языке математических символов как десятичная степень основного размера — метра. Слева направо: галактика, насчитывающая, предположительно, 10¹¹ звезд и находящаяся на расстоянии 10¹⁵ м от нашей планеты; земной шар, диаметр которого около 10⁷ м; элемент рельефа литосферы порядка 10³ м.

Мощь десяти: если принять за данность, что масштаб, в котором мы видим человека, равен 10¹ м, то насекомое мы будем рассматривать в масштабе 1^-2 м, а клетку гемоглобина — 10^-5 м.

Ритм шахмат

Существует легенда, ярко иллюстрирующая коварство экспоненциального роста. В ней говорится о человеке, придумавшем шахматы. В награду за его изобретение султан предложил ему выбрать любое сокровище. И тот попросил зерна.

Он захотел, чтобы ему дали столько зерна, сколько клеток на шахматной доске, причем с условием, что на первую клетку будет положено одно зерно, а на каждую последующую — в два раза больше, чем на предыдущую. Правитель, неважнецки разбиравшийся в математике, с легкостью согласился. Он даже не представлял, что зерна, выращиваемого на всей Земле, окажется недостаточно. Несмотря на то, что многие знакомы с этой историей или хотя бы слышали о ней, подловить кого-нибудь тем же способом труда не составит. Можно просто предложить положить одну копейку на первую клетку доски, две — на вторую, четыре — на третью и т. д. Не стоит заключать подобный договор в присутствии нотариуса, ведь никому не по силам ни заплатить конечную сумму, ни даже приблизиться к ней: речь идет о богатстве, накопленном человечеством за все долгие века своего существования. Сумма, о которой мы сейчас говорим, равна 18 446 744 073 709 551 615 рублям.

Страница из «Книги об играх», составленной при Альфонсо X Кастильском. На рисунке изображена легенда о происхождении шахмат на Востоке. На первую клетку доски нужно было положить одно зерно пшеницы, а на каждую следующую — в два раза больше, чем на предыдущую. Таким образом, мы впервые сталкиваемся с геометрической прогрессией, последнее значение которой — 2⁶³.

Типы процентов

Пример экспоненциального роста из повседневной жизни — сложный процент. Сравнение простых и сложных процентов позволяет ясно увидеть разницу между линейной и геометрической прогрессиями. Допустим, вы решили положить в банк 1000 рублей под процентную ставку 5% годовых. За первый год ваш вклад возрастет до 1000+50=1050 рублей, за второй — до 1050+50=1100, за третий — до 1100+50=1150.

Здесь речь идет о линейном росте, где каждое следующее значение получено путем прибавления 50 к предыдущему. Капитал ƒ(n) через n лет:

ƒ(n)=1000+50n.

И наоборот, если речь идет о вложении на 10 лет по сложной процентной ставке 5% годовых, то, используя формулу

C=C₀(1+i)ⁿ,

где C₀ — исходный капитал, i — ставка, а n — количество лет, мы получим следующее:

1000; 1000*(1+0,05); 1000*(1+0,05)²; 1000*(1+0,05)³; 1000(1+0,05)⁴ …

То есть капитал ƒ(n) через n лет

ƒ(n) = 1000*(1+0,05)ⁿ,

после определенных операций, станет таким:

1000; 1050; 1102,5; 1157,6; 1215,5…

Как можно заметить, каждое следующее значение получено из предыдущего путем умножения на коэффициент 1,05. Выше находится сравнительная таблица двух видов ставок; отбросив знаки после запятой, мы увидим, что разница между двумя числами очень мала на протяжении первых двух лет, но затем, по прошествии времени, она заметно увеличивается. Если представить эти значения в виде двух линий на графике, по вертикальной оси которого будут откладываться годы, а по горизонтальной — капитал, то у нас получится диаграмма как на картинке ниже. Соединив точки, мы увидим, что кривая, соответствующая сложным процентным ставкам (красного цвета), растет быстрее, чем та, что соответствует простым (зеленого цвета).

Графики роста вкладов с простыми и сложными процентными ставками (зеленый и красный цвета соответственно) для начального вложения в размере 1000 рублей под 5% годовых.

Если бы речь шла о вкладе на 24 года (на таблице не отображен такой срок), то к концу этого периода вклад по сложной процентной ставке вырос бы до 3225, тогда как по простой ставке он достиг бы всего лишь цифры 2200. Разница достаточно заметна.

Наглядное представление

График наверху наглядно иллюстрирует пример со вкладами, однако с математической точки зрения он неточен — экспонент всегда выражается кривой, и эта кривая «поднимается» настолько быстро, что, как правило, приходится задавать разный масштаб горизонтальной и вертикальной осям, иначе линия просто выйдет за пределы рисунка. На изображениях ниже представлен линейный рост типа 2, 4, 6, 8… красным цветом и экспоненциальный рост 2, 4, 8, 16… – зеленым.

Сравнительный график линейного (красный), полиномного (синий) и экспоненциального (зеленый) роста.

Как видно из графика, начиная с номера 2 по шкале x кривая резко уходит вверх, удаляясь от прямой. Первая из них — это функция вида ƒ(x)=2x, где мы получаем последовательность, в которой x равен 1, 2, 3… В отличие от первой функции, вторая выглядит так: ƒ(x)=2^x. Для получения ряда необходимо поднять до 2 экспоненты 1, 2, 3…

И наконец, синим цветом изображена третья кривая роста ƒ(x)=х². Точкам 1, 2, 3, 4… по горизонтальной оси соответствуют значения 1², 2², З², 4²… Этот вид роста не является ни линейным, ни экспоненциальным, представляя собой нечто среднее между ними. Часто его называют потенциальным или полиномным.

 

Посмотрим, что произойдет, если вместо того, чтобы умножать все значения на два, мы возведем их в квадрат. То есть построим ряд, выраженный в виде x².

На таблице выше видно, что вновь появившееся значение достигает х² на уровне номера 4, где обе кривых получают одинаковое значение — 16, но с этого момента экспонент начинает все больше отдаляться. Вопрос теперь состоит в том, что произойдет, если вместо возведения в квадрат (ƒ(х)=х²) числа 2 мы увеличим показатель степени и возьмем, например, 5(ƒ(х)-х⁵). Рисунок с изображением данного ряда получился бы чересчур громоздким. Но можно заметить, что номер 8 имеет значение 8⁵=32768, и оно гораздо выше значения 64, которое соответствовало бы экспоненциальному ряду. Значит ли это, что ряд

1⁵, 2⁵, З⁵, 4⁵…

растет быстрее, чем

2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵… ?

До определенного предела. Точнее сказать трудно, ведь начиная с известного момента экспоненциальный ряд получает значительное преимущество. Например, для номера 50 это 50⁵=312500000, при том что 2⁵⁰=1125899906842624. То есть можно с абсолютной уверенностью утверждать, что на номере 50 экспоненциал не только перегнал соответствующую точку конкурентного ряда, но и удаляется от нее на огромной скорости.

Можно математически доказать, что нет функции вида xn,чей рост будет больше, чем у экспоненциальной функции 2^х. Кроме того, эта функция всегда растет быстрее любой другой полиномной функции, то есть суммы степеней вида х, х², х³, х⁴… как, например, выражение вида 3x⁵+4x⁴+3x²+8.

Этот факт имеет огромное значение для некоторых областей программирования. При попытке разрешить определенную проблему путем установки на компьютер специальной программы жизненно необходимо, чтобы количество совершаемых шагов увеличивалось полиномным образом, сообразно сложности задачи, то есть в соответствии с ростом числа данных, поступающих в программу. Когда это не так, и время работы программы по мере ввода новых данных растет в геометрической прогрессии, то время выполнения, в течение которого машина должна представить результат, затягивается настолько, что ее использование становится нецелесообразным. Большая часть программного обеспечения, применяемого для шифрования данных — персональных, банковских или военных — основывает свою безопасность именно на этом. Существуют программы для вскрытия цифровых кодов, но на подбор ключей им требуется целая пропасть времени. На взлом могут уйти сотни миллионов лет.

Стандарты DIN

Привычные нам форматы бумаги были установлены немецкими промышленными нормами, более известными как стандарты DIN (Deutsche Industrie Normen). Геометрическая связь между стандартизированными форматами демонстрирует экспоненциальный характер. Лист формата An(бывают листы A1, A2, A3, A4 и т.д.) состоит из 2^n-1 раз листа A1.

Видение Мальтуса

Пересечения линий и кривых на графиках линейного и экспоненциального роста позволяют увидеть определенные закономерности и предсказать будущее. Томас Роберт Мальтус (1766–1834) — британский экономист, ученик Адама Смита — в своей работе «Опыт о законе народонаселения» выдвинул тезис, что рост населения скоро превысит возможности Земли производить пропитание.

Портрет Томаса Роберта Мальтуса, одного из родоначальников политэкономии и основателей демографии.

Мальитус подчеркивал: «Достаточно владеть элементарными навыками счета, чтобы оценить огромную разницу между двумя силами и склониться к первой». Здесь он сравнивал линейное и экспоненциальное поведение двух тенденций.

Теория Мальтуса: производство продуктов увеличивается линейно, а население — экспоненциально.

На графике можно видеть, что пока мы не достигнем точки, где линии пересекаются, производство продуктов питания будет больше, чем рост населения земли. Но затем кривая населения начинает стремительно удаляться от прямой, отражающей производство средств существования.

По мнению Мальтуса, «если предположить, что население земли равно миллиарду человек, человеческий род будет расти как числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и т.д., в то время как средства существования будут прибавляться следующим образом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и т.д. Через два века с четвертью соотношение населения и средств существования будет 512 к 10; еще через три века эта пропорция станет 4096 к 13, а еще через две тысячи лет разницу окажется невозможно подсчитать, несмотря на немыслимые размеры производства». Мы не будем вдаваться в анализ теории Мальтуса, но отметим, к каким интересным выводам ему удалось прийти путем простого сравнения арифметической и геометрической прогрессий.

Книга «Опыт о законе народонаселения» была анонимно выпущена в 1798 году и обрела огромную известность во всех уголках земного шара. На картинке — французское издание 1809 года.

Экспоненциальный спад

Экспоненциальное поведение включает в себя не только рост, но и обратный процесс, называемый экспоненциальным спадом. Механизм такого уменьшения очень похож на предыдущий, но лишь с той разницей, что оно пропорционально каждой из присутствующих величин. Например, первоначально заданное число 100 при скорости спада 0,5 даст нам серию чисел:

100; 50; 25; 12,5; 6,25 и т.д.,

где каждое следующее число получается благодаря умножению предыдущего на 0,5 (что равносильно его делению на 2). В общем, при экспоненциальном спаде каждое число получается путем умножения предыдущего на постоянную величину, которая должна быть меньше единицы.

Характерный пример этого вида уменьшения — радиоактивный распад. Ядра радиоактивного вещества распадаются естественным путем. Время tполураспада определяется как время, необходимое для того, чтобы количество n ядер уменьшилось в два раза. Так как количество происходящих распадов пропорционально количеству радиоактивных ядер, то процесс дезинтеграции представляет собой экспоненциальный спад. Представим себе, что если t — это период полураспада, то, пока он происходит, образец m уменьшается в два раза m/2, и через соответствующие периоды времени действие продолжается по той же схеме: m/4, m/8, m/16…

График экспоненциального замедления распада полония. Активность распада атомов снижается вдвое каждые 140 дней.

Например, период распада полония составляет 140 дней. На графике дни отмечены по горизонтальной оси, а общая выборка — по вертикальной. Проведя линию от точки, которая отмечает 140 дней, мы видим, что она соответствует уменьшению первоначального количества радиоактивных ядер в два раза. Характерная кривая экспоненциального распада та же, что и при экспоненциальном росте. Единственное их отличие в том, что одна «поднимается», а вторая «опускается». Это явление находит практическое применение в датировке археологических и геологических памятников.

Радиоуглеродный анализ позволяет устанавливать возраст археологических находок по периоду полураспада изотопа углерода.

Чаще всего для определения абсолютной хронологии используется ¹⁴C — нестабильный изотоп углерода, содержащийся в атмосфере. На протяжении всей жизни животные и растения впитывают и усваивают его вместе со стабильными изотопами углерода, а после смерти организма ¹⁴C начинает распадаться, и период полураспада составляет 5568 лет. Для определения возраста методом радиоуглеродного анализа в содержащих органику археологических находках подсчитывается количество ¹⁴C и сравнивается с количеством стабильных изотопов.

Есть и другие экспоненциальные распады, не такие сложные, как этот. Вероятно, распад аромата фруктов или томатов — это процесс со схожими характеристиками. Другой пример был приведен популярным в Твиттере математиком Джоном Алленом Паулосом из Висконсинского университета — он высказал предположение, что количество читателей математического текста уменьшается в два раза после каждой формулы, встретившейся в нем. Быстрый подсчет позволил бы нам увидеть, что до этих последних строчек дошли лишь очень немногие из начинавших читать данную статью.

Это интересно!

В последние годы развитие персональных компьютеров состояло в постоянном увеличении их возможностей — скорости процессора, емкости жесткого диска и оперативной памяти.

Относительно последней любопытно отметить, что рост ее объема происходил по экспоненциальному типу:

1, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…

что является 2ⁿ. В начале XXI века в употреблении были платы 512 Мб оперативной памяти. На основании этого можно предположить, что будущее компьютеров предсказать будет несложно.

Еще на десерт. Написание

тождественно

А это значит, что:

равно

то есть одной единице с 10 миллиардами нулей. Это число огромно! Большие значения всегда легче записывать, используя степени, хотя обычно они и не соответствуют никакому реальному количеству. Одно из самых длинных чисел, когда-либо использовавшихся в математике, это число Фолкмана:

Его размер был почти что невообразим. Это значение встречается в теории графов и показывает минимальное количество вершин, которое должен иметь граф, удовлетворяющий определенным условиям. Это число было открыто в конце XX века.